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问题 解答题
已知
a
，
b
是非零向量，
a
与
b
的夹角为θ，当
a
+t
b
（t∈R）的模取得最小值时．
（1）求t的值；
（2）若
a
与
b
同向共线，求证：
b
⊥(
a
+t
b
)．
答案

（1）∵|

a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2

=

a
2+2t
a
•
b
+t2
b
2

=

a
2+2t|
a
||
b
|cosθ+
b
2
t2

=

b
2(t+
|
a
|
|
b
|
cosθ)2+|
a
|sin2θ

根据二次函数的知识可得，当t=-

|
a
|
|
b
|
cosθ=-
|
a
||
b
|
|
b
|2
cosθ=
a
•
b
|
b
|2
×（-1）时，|
a
+t
b
|取得最小值．

（2）证明：

b
•(
a
+t
b
)=
b
•(
a
-
a
•
b
|
b
|2
•
b
)=
b
•
a
-
a
•
b
|
b
|2
•
b
2=
a
•
b
-
a
•
b
=0

∴

b
⊥(
a
+t
b
)．

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