解析（Ⅰ）f（x）=f₁（x）•f₂（x）=

1

2

x²alnx，

∴f′（x）=axlnx+

1

2

ax=

1

2

ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），

由f′（x）＞0，得x＞e

1

2

，由f′（x）＜0，得0＜x＜e

1

2

．

∴函数f（x）在（0，e

1

2

）上是减函数，在（e

1

2

，+∞）上是增函数，

∴f（x）的极小值为f（e

1

2

）=-

a

4e

，无极大值．

（Ⅱ）函数g（x）=

1

2

x2-alnx+(a-1)x，

则g′（x）=x-

a

x

+（a-1）=

x2+(a-1)x-a

x

=

(x+a)(x-1)

x

，

令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=-a（舍去），

当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．

函数g（x）在区间（

1

e

，e）内有两个零点，

只需

g( 1 e )＞0 g(1)＜0 g(e)＞0

，即

1 2e2 + a-1 e +a＞0 1 2 +a-1＜0 e2 2 +(a-1)e-a＞0

，∴

a＞ 2e-1 2e2+2e a＜ 1 2 a＞ 2e-e2 2e-2

，解得

2e-1

2e2+2e

＜x＜

1

2

，

故实数a的取值范围是（

2e-1

2e2+2e

，

1

2

）．

（Ⅲ）问题等价于x²lnx＞

x2

ex

-

3

4

，

由（I）知，f（x）=x²lnx的最小值为-

1

2e

，

设h（x）=

x2

ex

-

3

4

，h′（x）=-

x(x-2)

ex

得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，

∴h（x）_max=h（2）=

4

e2

-

3

4

，

因-

1

2e

-（

4

e2

-

3

4

）=

3e2-2e-16

4e2

=

(3e-8)(e+2)

4e2

＞0，

∴f（x）_min＞h（x）_max，

∴x²lnx＞

x2

ex

-

3

4

，∴lnx-（

1

ex

-

3

4x2

）＞0，

∴lnx+

3

4x2

-

1

ex

＞0．