（1）∵f（x）=lnx-x，

∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，定义域为（0，+∞），

令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；

令f′（x）＜0，解得x＞1；

∴f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），

（2）∵af（x）≥x-

1

2

x²在x∈（0，+∞）内恒成立，

∴

1

2

x²+alnx-（a+1）x≥0在x∈（0，+∞）内恒成立，

令g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，

∴g′（x）=x+

a

x

-（a+1）=

(x-a)(x-1)

x

，

①若a≤0时，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）上单调递减，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴g（x）_min=g（1）=

1

2

-（a+1）≥0，解得a≤-

1

2

，又a≤0，故a≤-

1

2

，

②若0＜a≤1时，g′（x）=0解得x=a或x=1，列表如下

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

又g（1）=

1

2

-（a+1）＜0，故不满足要求

③若a＞1时，g′（x）=0解得x=a或x=1，列表如下

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

同理g（1）=

1

2

-（a+1）＜0，故也不满足要求

综合上述，要使不等式af（x）≥x-

1

2

x²在x∈（0，+∞）内恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，-

1

2

]；

（ 3）由（ 2）知当a=-

1

2

时，g（x）=

1

2

x²-

1

2

lnx-

1

2

x≥0，

即lnx≤x²-x（x=1取等号）

∴当x＞1时，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

=

1

x-1

-

1

x

令x=2，3，…n，则有

1

ln2

＞1-

1

2

，

1

ln3

＞

1

2

-

1

3

，…，

1

ln(n+1)

＞

1

n

-

1

n+1

，

相加得

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．