问题 解答题
已知函数5(x)=x3+bx2+bx+c(实数b,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=-
1
2

(1)求函数5(x)的解析式;
(2)若常数口>0,求函数5(x)在区间[-口,口]上的最5值.
答案

(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的图象过原点,

∴f(二)=c=二,

求导函数可得:f′(x)=3x2+2ax+b,

∵在x=1处的切线为直线y=-

1
2

∴f(1)=1+a+b=-

1
2
,f′(1)=3+2a+b=二,

∴a=-

3
2
,b=二,

∴f(x)=x3-

3
2
x2

(2)f(x)=x3-

3
2
x2,f′(x)=3x2-3x=3x(x-1),

令f′(x)>二,可得x<二或x>1;令f′(x)<二,可得二<x<1;

∴函数在(-∞,二),(1,+∞)上单调递增;在(二,1)上单调递减,

∴函数在x=二处取得极大值二,

令f(x)=x3-

3
2
x2=二,可得x=二或x=
3
2

∴二<m<

3
2
时,f(m)<二,函数在x=二处取得最大值二;

m≥

3
2
时,f(m)≥二,函数在x=m处取得最大值m3-
3
2
m2

单项选择题
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