已知函数5(x)=x3+bx2+bx+c(实数b,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=-
(1)求函数5(x)的解析式; (2)若常数口>0,求函数5(x)在区间[-口,口]上的最5值. |
(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的图象过原点,
∴f(二)=c=二,
求导函数可得:f′(x)=3x2+2ax+b,
∵在x=1处的切线为直线y=-
.1 2
∴f(1)=1+a+b=-
,f′(1)=3+2a+b=二,1 2
∴a=-
,b=二,3 2
∴f(x)=x3-
x2,3 2
(2)f(x)=x3-
x2,f′(x)=3x2-3x=3x(x-1),3 2
令f′(x)>二,可得x<二或x>1;令f′(x)<二,可得二<x<1;
∴函数在(-∞,二),(1,+∞)上单调递增;在(二,1)上单调递减,
∴函数在x=二处取得极大值二,
令f(x)=x3-
x2=二,可得x=二或x=3 2
,3 2
∴二<m<
时,f(m)<二,函数在x=二处取得最大值二;3 2
m≥
时,f(m)≥二,函数在x=m处取得最大值m3-3 2
m2.3 2