问题
解答题
已知函数f(x)=2x+
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围． （2）记函数g（x）=x2[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式． |
答案
（本小题满分14分）
（1）f′(x)=2-
+2 x2
≥0，a x
∴a≥
-2x在[1，+∞）上恒成立…（2分）2 x
令h(x)=
-2x，x∈[1，+∞)2 x
∵h′(x)=-
-2＜0恒成立，2 x2
∴h（x）在[1，+∞）单调递减…（4分）
h（x）max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故实数a的取值范围为[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x3+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x2+a…（9分）
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，无最小值，不合题意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，则x=
（舍负）-a 6
∵0＜x＜
时，g′（x）＜0；x＞-a 6
时，g′（x）＞0，-a 6
∴g（x）在(0，
)上单调递减，在(-a 6
+∞)上单调递增，
，-a 6
则x=
是函数的极小值点．g(x)min=g(x)极小=g(-a 6
)=-6．…（13分）-a 6
解得a=-6，
故f(x)=2x+
-6lnx．…（14分）2 x