问题 解答题
设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
答案

(1)因为f(x)=a2x2,所以f′(x)=2a2x,令f′(x)=2a2x=1

得:x=

1
2a2
,此时y=
1
4a2

则点(

1
2a2
1
4a2
)到直线x-y-3=0的距离为2
2

2

2
=
|
1
2a2
-
1
4a2
-3|
2
,解之得a=
7
14

(2)不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,

等价于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三个整数解,故1-a2<0,

令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h(0)=1>0且h(1)=-a2<0(a>0),

所以函数h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一个零点在区间(0,1),

则另一个零点一定在区间(-3,-2),这是因为此时不等式解集中有-2,-2,0恰好三个整数解

h(-2)>0
h(-3)≤0
解之得
4
3
≤a<
3
2

(3)设F(x)=f(x)-g(x)=

1
2
x2-elnx,

F(x)=x-

e
x
=
x2-e
x
=
(x-
e
)(x+
e
)
x

所以当0<x<

e
时,F′(x)<0;当x>
e
时,F′(x)>0.

因此x=

e
时,F(x)取得最小值0,

则f(x)与g(x)的图象在x=

e
处有公共点(
e
e
2
)

设f(x)与g(x)存在“分界线”,

方程为y-

e
2
=k(x-
e
),即y=kx+
e
2
-k
e

f(x)≥kx+

e
2
-k
e
在x∈R恒成立,

x2-2kx-e+2k

e
≥0在x∈R恒成立.

所以△=4k2-4(2k

e
-e)=4k2-8k
e
+4e=4(k-
e
)2≤0成立,

因此k=

e

下面证明g(x)≤

e
x-
e
2
(x>0)恒成立.

G(x)=elnx-x

e
+
e
2
,则G′(x)=
e
x
-
e
=
e
(
e
-x)
x

所以当0<x<

e
时,G′(x)>0;当x>
e
时,G′(x)<0.

因此x=

e
时G(x)取得最大值0,则f(x)≤
e
x-
e
2
(x>0)
成立.

故所求“分界线”方程为:y=

e
x-
e
2

单项选择题
判断题