问题 解答题
设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
答案

(1)因为f(x)=a2x2,所以f′(x)=2a2x,令f′(x)=2a2x=1

得:x=

1
2a2
,此时y=
1
4a2

则点(

1
2a2
1
4a2
)到直线x-y-3=0的距离为2
2

2

2
=
|
1
2a2
-
1
4a2
-3|
2
,解之得a=
7
14

(2)不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,

等价于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三个整数解,故1-a2<0,

令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h(0)=1>0且h(1)=-a2<0(a>0),

所以函数h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一个零点在区间(0,1),

则另一个零点一定在区间(-3,-2),这是因为此时不等式解集中有-2,-2,0恰好三个整数解

h(-2)>0
h(-3)≤0
解之得
4
3
≤a<
3
2

(3)设F(x)=f(x)-g(x)=

1
2
x2-elnx,

F(x)=x-

e
x
=
x2-e
x
=
(x-
e
)(x+
e
)
x

所以当0<x<

e
时,F′(x)<0;当x>
e
时,F′(x)>0.

因此x=

e
时,F(x)取得最小值0,

则f(x)与g(x)的图象在x=

e
处有公共点(
e
e
2
)

设f(x)与g(x)存在“分界线”,

方程为y-

e
2
=k(x-
e
),即y=kx+
e
2
-k
e

f(x)≥kx+

e
2
-k
e
在x∈R恒成立,

x2-2kx-e+2k

e
≥0在x∈R恒成立.

所以△=4k2-4(2k

e
-e)=4k2-8k
e
+4e=4(k-
e
)2≤0成立,

因此k=

e

下面证明g(x)≤

e
x-
e
2
(x>0)恒成立.

G(x)=elnx-x

e
+
e
2
,则G′(x)=
e
x
-
e
=
e
(
e
-x)
x

所以当0<x<

e
时,G′(x)>0;当x>
e
时,G′(x)<0.

因此x=

e
时G(x)取得最大值0,则f(x)≤
e
x-
e
2
(x>0)
成立.

故所求“分界线”方程为:y=

e
x-
e
2

阅读理解与欣赏

阅读下面的文字,完成问题。

人间鲁迅

林贤治

  一个可以由此得生,也可以由此得死的时代是大时代。大时代总要产生巨人。

鲁迅是巨人。他不是帝王。不是 * * ,他无须挥舞权杖。作为旧世界妁逆子贰臣。唯以他的人格和思想召引了大群年轻的奴隶。他把对于民族和人类的热爱理解得那么深沉,乃至他的目光,几乎只让人望见直逼现实的愤怒火焰。数千年的僵尸政治。“东方文明”,专制、强暴、虚伪、保守和蒙昧,都是他攻击的目标,他教奴隶们如何反抗,如何“钻网”,如何进行韧性的战斗。他虽然注意实力的保存,却不惮牺牲自己,必要时照例地单身鏖战。在一生中,他呐喊过也彷徨过,甚至在横站着作战的晚年仍然背负着难耐的寂寞,但是从来耻于屈服和停顿。中国的思想文化界,没有一个人像他一样赢来众多的“私敌”,没有一个像他一样招致密集的刀箭,因此,也就没有一个人像他一样获得更为辉煌的战绩。他所凭借的仅仅是一支“金不换”,便在看不见的但却是无比险恶的战场里,建树了超人一等的殊勋。

  在他身后,自然要出现大大小小的纪念物,石雕、铜像以及传记,可悲哀的是:当再度被赋予形体的时候,这个始终屹立于人间的猛士,却不止一次地经过有意无意的铺垫与厚饰,成了奥林匹斯山①上的宙斯②。

  平凡的伟大才是真正的伟大。鲁迅是“人之子”,人所具有的他都具有。正因为他耳闻了愚妄 的欢呼和悲惨的呼号,目睹了淋漓的鲜血和升腾的地火,深味了人间的一切苦辛,在他的著作中,古老而艰深的象形文字,才会变得那么平易,那么新鲜,那么富于生命的活力。

  这样一个毕生以文字从事搏战的人,他的形象,其实早经文学本身表达无遗了。世间纪念物,丝毫也不能为他增添或减损什么,无非是后人的一种感念而已,如果它所激发的不是对真理的渴求, 不是奔赴生活的勇气和变革现实的热情,而是宗教式的膜拜,那么毋宁说:我们什么都不需要!

  历史人物之所以伟大,正在于我们可以因他而深刻地意识到自身的存在;在存在的方式的选择中间,我们根本不愿拒绝他的灵魂的 参与。鲁迅就是这样一个人。他没有把黄金世界轻易预约给人类,却以燃烧般的生命,成为千千万万追求者的精神的火花。

  真正的巨人活在时间的深度里。应当相信,历史终会把最有分量的东西保留下来。

  注:①奥林匹斯山:希腊东部的一座高山。古代希腊人视之为神山,希腊神话中的诸神都住在 山顶。②宙斯:希腊神话中的主神,威力无边,是诸神和人类的主宰。

1.指出下面语句在文中的具体含意。

(1)召引了大群年轻的奴隶:____________________________________________。

(2)铺垫与厚饰:_________________________________________________。 

2.为什么说“鲁迅是巨人”?请简要回答。(不超过20个字。)

________________________________________________。

3.从文中找出与下面词语相照应的语句。(不超过60个字。)

(1)宗教式的膜拜:

________________________________________________。

(2)最有分量的东西:

________________________________________________。

4.下列对文章的赏析,不正确的两项是(  )

A.文章开头第一句话的意思是:一个可以使人为它而生也使人为它而死的时代,是一个有志之士大有作为、创造辉煌业绩的时代。

B.作者认为:鲁迅的伟大早经他的作品表达无遗了,而后人为鲁迅所造的石雕、铜像等纪念物没有什么实际意义,不能为他增添什么或减损什么。

C.鲁迅没有把一个充满光明、幸福的美好世界描绘给人们,却以炽烈的革命战斗精神感召着无数革命志士,他的思想成为鼓舞人们战斗的光辉旗帜。

D.本文多处采用对比手法,如将鲁迅与帝王、 * * 对比,将鲁迅与奥林匹斯山上的宙斯对比,将平凡与伟大对比,从而表现了他的伟大的人格与伟大的思想。

E.题目“人间鲁迅”表达了作者在文中的观点:世代为人所敬仰的思想家、革命家和文学家鲁迅,是人而不是神。

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