(1)因为f(x)=a2x2,所以f′(x)=2a2x,令f′(x)=2a2x=1
得:x=,此时y=,
则点(,)到直线x-y-3=0的距离为2,
即2=,解之得a=.
(2)不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,
等价于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三个整数解,故1-a2<0,
令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h(0)=1>0且h(1)=-a2<0(a>0),
所以函数h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一个零点在区间(0,1),
则另一个零点一定在区间(-3,-2),这是因为此时不等式解集中有-2,-2,0恰好三个整数解
故解之得≤a<.
(3)设F(x)=f(x)-g(x)=x2-elnx,
则F′(x)=x-==.
所以当0<x<时,F′(x)<0;当x>时,F′(x)>0.
因此x=时,F(x)取得最小值0,
则f(x)与g(x)的图象在x=处有公共点(,).
设f(x)与g(x)存在“分界线”,
方程为y-=k(x-),即y=kx+-k,
由f(x)≥kx+-k在x∈R恒成立,
则x2-2kx-e+2k≥0在x∈R恒成立.
所以△=4k2-4(2k-e)=4k2-8k+4e=4(k-)2≤0成立,
因此k=.
下面证明g(x)≤x-(x>0)恒成立.
设G(x)=elnx-x+,则G′(x)=-=.
所以当0<x<时,G′(x)>0;当x>时,G′(x)<0.
因此x=时G(x)取得最大值0,则f(x)≤x-(x>0)成立.
故所求“分界线”方程为:y=x-.