问题 解答题
设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
答案

(1)因为f(x)=a2x2,所以f′(x)=2a2x,令f′(x)=2a2x=1

得:x=

1
2a2
,此时y=
1
4a2

则点(

1
2a2
1
4a2
)到直线x-y-3=0的距离为2
2

2

2
=
|
1
2a2
-
1
4a2
-3|
2
,解之得a=
7
14

(2)不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,

等价于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三个整数解,故1-a2<0,

令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h(0)=1>0且h(1)=-a2<0(a>0),

所以函数h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一个零点在区间(0,1),

则另一个零点一定在区间(-3,-2),这是因为此时不等式解集中有-2,-2,0恰好三个整数解

h(-2)>0
h(-3)≤0
解之得
4
3
≤a<
3
2

(3)设F(x)=f(x)-g(x)=

1
2
x2-elnx,

F(x)=x-

e
x
=
x2-e
x
=
(x-
e
)(x+
e
)
x

所以当0<x<

e
时,F′(x)<0;当x>
e
时,F′(x)>0.

因此x=

e
时,F(x)取得最小值0,

则f(x)与g(x)的图象在x=

e
处有公共点(
e
e
2
)

设f(x)与g(x)存在“分界线”,

方程为y-

e
2
=k(x-
e
),即y=kx+
e
2
-k
e

f(x)≥kx+

e
2
-k
e
在x∈R恒成立,

x2-2kx-e+2k

e
≥0在x∈R恒成立.

所以△=4k2-4(2k

e
-e)=4k2-8k
e
+4e=4(k-
e
)2≤0成立,

因此k=

e

下面证明g(x)≤

e
x-
e
2
(x>0)恒成立.

G(x)=elnx-x

e
+
e
2
,则G′(x)=
e
x
-
e
=
e
(
e
-x)
x

所以当0<x<

e
时,G′(x)>0;当x>
e
时,G′(x)<0.

因此x=

e
时G(x)取得最大值0,则f(x)≤
e
x-
e
2
(x>0)
成立.

故所求“分界线”方程为:y=

e
x-
e
2

阅读理解与欣赏

阅读下面的文字,完成后面题。(9分)

从文学作品中人与自然的关系看中西文化的差异

在自然面前,人的力量总显得渺小、微弱,而人类征服自然的冲动又从不会遏止,因此,无论是人类童年的神话,还是今天的幻想,冥冥之中总会出现“神”的概念。之所以出现“神”而不出现“人”,就是因为人类认识到自身力量有限,故寄希望于超乎人甚至超乎自然的“神”上,这样,借助神力既可表现出人类的一种希望、一种寄托,也可以产生心理上的一种平衡、一种慰藉,而对自身能力的认识也更近乎客观。

于是,在渺小的人和伟大的自然面前,人类便凭借自己创造的神取得了跟自然对抗的和谐。但这种和谐表现在人的主观理念上、表现在文学作品中,便有了不同的内涵:西方的神主宰人类的命运,中国的神被人主宰着或被人的意念支配着。由此产生了两种不同的风格。在中国作品中,人的气魄、精神被表现得登峰造极,大有主宰自然、扭转乾坤之神力——愚公最终“移”走了山,精卫一直填海不已:其成功已势在必然。而西方作品中,人就显得格外渺小、微弱了,《老人与海》中的圣地亚哥,在自然面前总是逆来顺受、任其摆布而无能为力——老人出海终无功而返。但作为自然的征服者,他们却从不敢也从没有在伟大的自然面前停止过自己探索的脚步,尽管这种力量很微弱,在很多的时候都要付出极大的代价甚至失去生命,他们仍不会屈从命运,仍在不断地向自然宣战,同自然抗争,正如《老人与海》中老渔夫所说:“人不是为失败而生的,一个人可以被毁灭,但不能被打败。”

也就是说,在对待自然的问题上,中国作品看重神力,以浪漫主义的手法给人以鼓舞,充满了乐观、自信。西方作品看重人力,探求神力,以现实主义的手法给人类提出一个个严峻的课题,但我们读后却不感到悲观,反而会继承一种精神,产生出一种莫名的冲动和强烈的征服欲。西方的“神”主宰着人的命运,因此,西方人看重个人的力量;中国的“神”被人主宰着,因此,中国人看重外物的利用。被神主宰的,总探求自身的解放,故探索永远不会停止,人类自身也不断地在自然面前获得一定的自由。幻想主宰神的,在意念上总是胜利者,故不去或很少去探索,人也总会受制于自然而得不到解放。看重个人力量者,认为一切成功都来源于自身的努力,因此遇事多从主观方面找原因,以通过自我的调整和努力获得对自然的驾驭,他每走一步,无论是前进还是后退,无论是经验还是教训,都是一种启示,都有助于今后的努力——这种人比较自信,不看重外界因素的影响,“走自己的路,让别人说去吧”,自我奋斗是这种思维的外化。

在征服自然的行动上,西方多出于一种理性指导下的实践,其有节、有度,不太合常理但符合实情,有很强的现实性;中国多缘于感性认识上的一种理论,没有什么限制,虽有道理却不符合实际,有很大的盲目性。因此,西方人务实,崇尚实干,重物质财富的创造;中国人务虚,崇尚清谈,看重精神的作用,而很少考虑后果如何,重态度而轻能力。西方人尊重科学,崇尚理性;中国人崇拜迷信,强调感情。由此而产生不同的人才:西方出现了许多脚踏实地的实业家、科学家,中国却培养出一大批夸夸其谈而不着边际的空想家,使我们至今仍蒙受其害。

人与自然的关系所反映出的文化差异,既植根于民族文化的积淀,也决定着民族文化发展的趋向。在此,笔者并不是想刻意反映这种差异,而是想借此对外来文化进行借鉴和对民族文化进行反思,以期取人之长补己之短,使民族文化在扬弃和吸收中得到更好的发展。               

(节选自《人民日报》,有删节)                                                                    

小题1:与“神”有关的内容,下列表述不符合文意的一项是(   )

A.人类童年的神话和今天的幻想都表现了“神”的力量,让人产生心理上的一种平衡、一种慰藉,更近乎客观地认识自身能力。

B.“神”的出现是因为在自然面前,人类认识到自身力量有限,但又不屈服于自然,故寄希望于超乎人甚至超乎自然的“神”。

C.西方凭借着主宰人类命运的“神”,中国凭借着被人主宰或被人的意念支配着的“神”,他们都取得了与自然对抗的和谐。

D.《愚公移山》的愚公、“精卫填海”的精卫和《老人与海》的圣地亚哥,他们在不断同自然的抗争中最终都凭借“神”取胜。小题2:根据文意,下列推断合理的一项是(   )

A.人类力量渺小,但人类征服自然的冲动从不会被遏止,因而“神”的概念就不会被遗忘。

B.中国神话故事里愚公移山、精卫填海的成功取决人的意愿,归根结底是人主宰的结果。

C.中国产生一大批空想家是因为中国人崇拜神力,看重外物和精神的作用,却不相信自己。

D.中国人看重神力,西方人探求神力,但都是通过自我努力驾驭自然。小题3:从人与自然的关系看,中国与西方文学作品中体现的中西文化的差异主要有哪些?(3分)

多项选择题