函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．

（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减，

∴在（0，+∞）上没有极值点；

当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，f′（x）＜0得x＜

1

a

．f′（x）=0得x=

1

a

．

∴在（0，

1

a

）上递减，在（

1

a

，+∞）上递增，即在x=

1

a

处有极小值．

∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，

当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）

（Ⅱ）∵函数在x=

1

a

处取得极值，∴a=1，

f（x）=x-1-lnx，

∵f（x）≥bx-2，移项得（1-b）x＞lnx-1，再将b分离得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，

则令g′（x）=

lnx-2

x2

，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，

∴g（x）在x=e²处取得极小值，也就是最小值．此时g（e²）=1-

1

e2

，

所以b≤1-

1

e2

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上为减函数．0＜x＜y＜e²且x≠e时，

有g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

①

当0＜x＜e时，1-lnx＞0，由①得，

y

x

＞

1-lny

1-lnx

当e＜x＜e²时，1-lnx＜0，由①得

y

x

＜

1-lny

1-lnx