(Ⅰ)由题设可得f′(x)=(a>0)
因为函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以当x∈[1,+∞)时,不等式f′(x)=≥0,即a≥恒成立
因为当x∈[1,+∞)时,的最大值为1,所以实数a的取值范围是[1,+∞)-----(4分)
(Ⅱ)a=1时,f(x)=+lnx,F(x)=+lnx+(k-1)lnx=+klnx
所以,F′(x)=+=…(6分)
(1)若k=0,则F′(x)=,在[,e]上,恒有F'(x)<0,所以F(x)在[,e]上单调递减
∴F(x)min=F(e)=,F(x)max=F()=e-1…(7分)
(2)k≠0时,F′(x)==
(i)若k<0,在[,e]上,恒有<0,所以F(x)在[,e]上单调递减
∴F(x)min=F(e)=+klne=+k=+k-1,F(x)max=F()=e-k-1…(9分)
(ii)k>0时,因为k<,所以>e(x-)<0,所以<0,所以F(x)在[,e]上单调递减
∴F(x)min=F(e)=+klne=+k=+k-1,F(x)max=F()=e-k-1…(11分)
综上所述:当k=0时,F(x)min=,F(x)max=e-1;当k≠0且k<时,F(x)max=e-k-1,F(x)min=+k-1.…(12分)