问题
解答题
已知函数f（x）=x2+2x+a•lnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）由f（x）=x2+2x+a•lnx，得f′(x)=2x+2+
，a x
要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴只需a≥-（2x2+2x），或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立．
记g（x）=-（2x2+2x），
∵0＜x≤1，
∴-4≤g（x）＜0，
∴a≤-4，或a≥0．（5分）
（2）∵f（x）=x2+2x+a•lnx，
∴由f（2t-1）≥2f（t）-3，得
（2t-1）2+2（2t-1）+a•ln（2t-1）≥2（t2+2t+alnt）-3，
化简得2（t-1）2≥a•ln
，t2 2t-1
∵t＞1时有t2＞2t-1＞0，即
＞1，t2 2t-1
则ln
＞0，∴a≤t2 2t-1
，①-------------（7分）2(t-1)2 ln t2 2t-1
构造函数h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，则h′(x)=
-1=-1 1+x
，x 1+x
∴h（x）在x=0处取得极大值，也是最大值．
∴h（x）≤h（0）在x＞-1范围内恒成立，而h（0）=0，
从而ln（1+x）≤x在x＞-1范围内恒成立．
∴在t＞1时，ln
=ln[1+t2 2t-1
≤(t-1)2 2t-1
＜（t-1）2，(t-1)2 2t-1
而t=1时，ln
=（t-1）2=0，t2 2t-1
∴当t≥1时，ln
≤（t-1）2恒成立，t2 2t-1
即t≥1时，总有
，②2(t-1)2 ln t2 2t-1
由式①和式②可知，实数a的取值范围是a≤2．（12分）