问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．
答案
（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x3-3x2+2，f'（x）=3x2-6x
令f'（x）=0得x1=0，x2=2…（9分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，3） | 3 |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | -2 | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | 2 |
从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）