问题
解答题
定义在R上的函数f(x)=
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②f′（x）是偶函数； ③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）设g（x）=[
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答案
（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax2+2bx+c…（1分）
由题意知
，即f′(1)=0 f′(0)=-1 2b=0
解得a+2b+c=0 c=-1 b=0
．…（4分）a=1 b=0 c=-1
所以函数y=f（x）的解析式为f(x)=
x3-x+2．…（5分）1 3
（Ⅱ）g(x)=(
x3-f(x))ex=（x-2）ex，∴g′（x）=（x-1）ex．1 3
令g′（x）=0得x=1，所以函数g（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增..…（7分）
当m≥1时，g（x）在[m，m+1]单调递增，ymin=g（m）=（m-2）em…（9分）
当m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，g（x）在[m，1]单调递减，在[1，m+1]单调递增，ymin=g（1）=-e..…（10分）
当m+1≤1，即m≤0时，g（x）在[m，m+1]单调递减，ymin=g（m+1）=（m-1）em+1．…．（12分）
综上，g（x）在[m，m+1]上的最小值ymin=
．…（13分）(m-2)em，m≥1 -e，0＜m＜1 (m-1)em+1，m≤0
