问题
解答题
某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．
（1）将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
答案
（1）依题意，设m=kx2，由已知有5=k•12，从而k=5，
∴m=5x2，
∴y=（14-x-5）（75+5x2）=-5x3+45x2-75x+675（0≤x＜9）；
（2）∵y′=-15x2+90x-75=-15（x-1）（x-5），
由y′＞0，得1＜x＜5，由y′＜0，得0≤x＜1或5＜x＜9，
可知函数y在[0，1）上递减，在（1，5）递增，在（5，9）上递减，
从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5，
∵y（0）=675，y（5）=800，
∴当x=5时，ymax=800，
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．