问题 解答题

已知函数f(x)=x-1-lnx

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(Ⅱ)求函数f(x)的极值;

(Ⅲ)对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.

答案

(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-

1
x

f′(2)=

1
2
,f(2)=1-ln2,

∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(1-ln2)=

1
2
(x-2),

即x-2y-2ln2=0;

(Ⅱ)f′(x)=1-

1
x

令f′(x)>0,得x>1,

列表:

x(0,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)0
∴函数y=f(x)的极小值为f(1)=0;

(Ⅲ)依题意对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立

等价于x-1-lnx≥bx-2在(0,+∞)上恒成立

可得b≤1+

1
x
-
lnx
x
在(0,+∞)上恒成立,

令g(x)=1+

1
x
-
lnx
x
g′(x)=
lnx-2
x2

令g′(x)=0,得x=e2

列表:

x(0,e2e2(e2,+∞)
g'(x)-0+
g(x)1-
1
e2
∴函数y=g(x)的最小值为g(e2)=1-
1
e2

根据题意,b≤1-

1
e2

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