问题
解答题
已知函数f(x)=x-1-lnx
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
答案
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-
,1 x
则f′(2)=
,f(2)=1-ln2,1 2
∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(1-ln2)=
(x-2),1 2
即x-2y-2ln2=0;
(Ⅱ)f′(x)=1-
,1 x
令f′(x)>0,得x>1,
列表:
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↘ | 0 | ↗ |
(Ⅲ)依题意对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立
等价于x-1-lnx≥bx-2在(0,+∞)上恒成立
可得b≤1+
-1 x
在(0,+∞)上恒成立,lnx x
令g(x)=1+
-1 x
,g′(x)=lnx x lnx-2 x2
令g′(x)=0,得x=e2
列表:
x | (0,e2) | e2 | (e2,+∞) | ||
g'(x) | - | 0 | + | ||
g(x) | ↘ | 1-
| ↗ |
1 |
e2 |
根据题意,b≤1-
.1 e2