问题
解答题
某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．
（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．
答案
（Ⅰ）依题意，L（x）=（x-3）（11-x）2-a（11-x）2
=（x-3-a）（11-x）2，x∈[7，10]．
（Ⅱ）∵L′（x）=（11-x）2-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x ）（17+2a-3x）．
由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x=
．17+2a 3
∵1≤a≤3，∴
≤19 3
≤17+2a 3
．23 3
在x=
的两侧L′（x）由正变负，17+2a 3
故①当
≤19 3
≤7，即1≤a≤2时，L′（x）在[7，10]上恒为负，17+2a 3
∴L（x）在[7，10]上为减函数．
∴[L（x）]max=L（7）=16（4-a）．
②当7＜
≤17+2a 3
，即2＜a≤3时，[L（x）]max=L（23 3
）=17+2a 3
（8-a）3，4 27
故1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为
元时，年利润最大，为17+2a 3
（8-a）3万元．4 27