（1）依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，

∵f′（x）=x+

1

x

，∴f′（x）＞0，

∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．

（2）证明：设g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，

∴g′（x）=2x²-x-

1

x

，

∵当x＞1时，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，

∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，

∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，

∴当x＞1时，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．