（I）当p=2时，函数f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1）

即y=2x-2．

（II）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．

令h（x）=px²-2x+p，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．

由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=

1

p

∈(0，+∞)，

∴h(x)min=p-

1

p

，只需p-

1

p

≥0，

即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

（III）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数，

∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，

即g（x）∈[2，2e]，

1当p＜02时，h（x）=px²-2x+p3，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=

1

p

4在y5轴的左侧，且h（0）＜0，

所以f（x）在x∈[1，e]9内是减函数．

当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，

f′(x)=-

2x

x2

＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．

∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意； （

当0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x-

1

x

≥012，所以f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx．

又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，

∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合题意；

14当p≥115时，由（2）知f（x）16在[1，e]17上是增函数，f（1）=0＜218，又g（x）19在[1，e]20上是减函数，

故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g（x）_min=2，即p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

综上所述，实数p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．