问题
解答题
已知函f（x）=x3+ax2+bx+5，若x=
（1）求函数f（x）的解析式； （2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值． （3）函数y=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围． |
答案
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，…（1分）
由题意，得
，解得f′(
)=3×(2 3
)2+2a×2 3
+b=02 3 f′(1)=3×12+2a×1+b=3
；a=2 b=-4
所以，f（x）=x3+2x2-4x+5，…（4分）
（2）由（1）知f（x）=3x3+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x1=-2，x2=
；…（5分）2 3
| x | -4 | （-4，-2） | -2 | （-2，
|
| （
| 1 | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ | ||||||||
| 函数值 | -11 | 13 |
| 4 |
∴f（x）在[-4，-1]上的最大值为13，最小值为-11．…（9分）
（3）∵函数y=f（x）-m有三个零点，即f（x）=m，有三个交点，
可得f（x）的图象：如下图：
由上图y=m与函数f（x）有三个交点，
∴4＜m＜13，-11＜m＜
，此时y=m与f（x）交于三点；95 27
∴4＜m＜13 或-11＜m＜
；95 27