问题
解答题
| 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量． （Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加 的比例x应在什么范围内？ （Ⅱ）年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+
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答案
（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得0＜x＜5 6
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+
）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）5 3
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由f′(x)=0，解得x=
或x=3，5 9
当x∈(0，
)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(5 9
，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．5 9
∴当x=
时，f(x)取极大值f(5 9
)=20000万元，5 9
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当x=
时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．5 9