问题
解答题
设函数f(x)=ex+sinx，g(x)=ax，F(x)=f(x)-g(x)。
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点，求a的值；
(Ⅱ)当a=1时，设P(x1，f(x1))，Q(x2，g(x2))(x1>0，x2>0)，且PQ//x轴，求P、Q两点间的最短距离；
(Ⅲ)若x≥0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方，求实数a的取值范围．
答案
解：（Ⅰ）F(x)=ex+sinx-ax，
，
因为x=0是F(x)的极值点，所以，
，
又当a=2时，若x＜0，
；若 x＞0，，
∴x=0是F(x)的极小值点，
∴a=2符合题意。
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x轴，由f(x1)=g(x2)得
，
所以，
，
令
，当x＞0时恒成立，
∴x∈[0，+∞时，h(x)的最小值为h(0)=1，
∴|PQ|min=1。
（Ⅲ）令
，
则
，
，
因为
，当x≥0时恒成立，
所以函数S(x)在
上单调递增，
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0，+∞）时恒成立；
因此，函数
在
上单调递增，
，
当x∈[0，+∞）时，恒成立；
当a≤2时，
，
在[0，+∞）单调递增，即
，
故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立，
当a＞2时，
，
又∵
在
上单调递增，
∴总存在
使得在区间
上
，
导致
在
递减，
而，
∴当
时，这与
对
恒成立不符，
∴
不合题意，
综上，a的取值范围是
。