问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）， （1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值； （2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x-
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答案
（1）∵f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
∴f′（x）=
-a，∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，a x
∴f′（2）=-
=1，解得a=-2．a 2
（2）由（1）知，f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=2-
，2 x
∴g（x）=x3+（2+
）x2-2x，g′（x）=3x2+（m+4）x-2，m 2
∵函数g（x）在区间（t，3）总存在极值，
∴
解得-g′(2)＜0 g′(3)＞0
＜m＜-9．37 3
（3）由a=2得f（x）=2lnx-2x-3，令F（x）=h（x）-f（x）=px-
-2lnx，则F′（x）=p+2e x
，px2-2x+p+2e x2
①若p≤0，由于px-
≤0，-p x
-2lnx＜0，故F（x）＜0，所以不存在x0使得h（x0）＞f（x0）；2e x
②若p＞0，此时F′（x）=
＞0，所以F（x）在[1，e]上是增函数，px2-2x+p+2e x2
∴F（x）max=F（e）=pe-
-4，只要pe-p e
-4＞0即可，解得p＞p e
，4e e2-1
即p∈（
，+∞）．4e e2-1