（ I）当a=1时，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]

∴f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

令f'（x）＞0∴1＜x＜e令f'（x）＜0∴0＜x＜1

∴f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（0，1）

（ II）由（ I）知f（x）在（0，e]的最小值为f（1）=1

又g′(x)=

1-lnx

x2

g'（x）≥0在区间（0，e]上成立

∴g（x）在（0，e]单调递增，故g（x）在区间（0，e]上有最大值g(e)=

1

e

要证对任意x₁，x₂∈（0，e]，f(x1)＞g(x2)+

17

27

即证f(x1)min＞g(x2)max+

17

27

即证1＞

1

e

+

17

27

，即证e＞2.7

故命题成立

（ III）h（x）=f（x）-g（x）•x=ax-2lnx，x∈（0，e]

∴h′(x)=a-

2

x

=

ax-2

x

（1）当a=0时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，e]单调递减，

故h（x）的最小值为h（e）=-2，舍去

（2）当a＞0时，由h'（x）＜0，得0＜x＜

2

a

①当0＜a≤

2

e

时，

2

a

≥e，

∴h（x）在（0，e]单调递减，故h（x）的最小值为h（e）=ae-2=3，

∴a=

5

e

＞

2

e

，舍去

②当a＞

2

e

时，

2

a

＜e，

∴h（x）在(0，

2

a

]单调递减，在(

2

a

，e)单调递增，

故h（x）的最小值为h(

2

a

)=2-2ln

2

a

=3，a=2

e

，满足要求

（3）当a＜0时，h'（x）＜0在（0，e]上成立，

∴h（x）在（0，e]单调递减，故h（x）的最小值为h（e）=ae-2=3∴a=

5

e

＞

2

e

，舍去

综合上述，满足要求的实数a=2

e