问题 解答题

已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值,且f(1)=﹣1.

(1)试求常数a、b、c的值;

(2)试求f(x) 的单调区间;

(3)试判断x=±1时函数取极小值还是极大值,并说明理由.

答案

解:(1)∵f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值

∴f′(1)=f′(﹣1)=0,

∴3a+2b+c=0,①

3a﹣2b+c=0.②

又f(1)=﹣1,

∴a+b+c=﹣1.③

由①②③解得a=,b=0,c=﹣

(2)f(x)=x3x,

∴f′(x)=(x﹣1)(x+1).

令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>1;

令f′(x)<0,可得﹣1<x<1.

∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),单调减区间为(﹣1,1)

(3)由(2)知,函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),

单调减区间为(﹣1,1)

∴x=﹣1时,f(x)有极大值;

x=1时,f(x)有极小值.

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