问题
解答题
已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值,且f(1)=﹣1.
(1)试求常数a、b、c的值;
(2)试求f(x) 的单调区间;
(3)试判断x=±1时函数取极小值还是极大值,并说明理由.
答案
解:(1)∵f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值
∴f′(1)=f′(﹣1)=0,
∴3a+2b+c=0,①
3a﹣2b+c=0.②
又f(1)=﹣1,
∴a+b+c=﹣1.③
由①②③解得a=,b=0,c=﹣
.
(2)f(x)=x3﹣
x,
∴f′(x)=(x﹣1)(x+1).
令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>1;
令f′(x)<0,可得﹣1<x<1.
∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),单调减区间为(﹣1,1)
(3)由(2)知,函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),
单调减区间为(﹣1,1)
∴x=﹣1时,f(x)有极大值;
x=1时,f(x)有极小值.