证明:曲线方程为:z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t
=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
所以x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2
即y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a(0≤x≤1)①
若a-2b+c=0,则Z0、Z1、Z2三点共线,与已知矛盾,故a-2b+c≠0.
于是此曲线为对称轴与x轴垂直的抛物线.
设AB中点M:+(a+b)i,BC中点N:+(b+c)i
与AC平行的中位线经过M(,(a+b))及N(,(b+c))两点,
其方程为4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0(≤x≤),
令4(a-2b+c)x2+8(b-c)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c,
即4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0,
由a-2b+c=0,得4x2+4x+1=0,此方程在[,]内有唯一解x=,
以x=代入①得y=(a+2b+c),
所以,所求公共点坐标为(,(a+2b+c).