问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）判断函数f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）函数g（x）=log2f（x），x∈[-5，-3]的值域为A，且CRB={x|x＞2a-1或x＜a}（a为常数），若A∩B=B，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
f(x)=
=1-x-1 x+2
，3 x+2
任取x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=(1-
)-(1-3 x1+2
)=3 x2+2
-3 x2+2
=3 x1+2
，3(x1-x2) (x1+2)•(x2+2)
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又x1，x2∈（-2，+∞），∴x1+2＞0，x2+2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
（2）∵f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
∴f（x）在区间[-5，-3]上为增函数．
∵g（x）=log2f（x），∴g（x）在区间[-5，-3]上为增函数，
∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
∵CRB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
①若B=ϕ，则a＞2a-1，解得a＜1；
②若B≠ϕ时，
⇒1≤a≤2a-1≥a a≥1 2a-1≤2
，3 2
综上所述：a∈(-∞，
]．3 2