(Ⅰ)解：∵f(x)=x³-x²+ax+b，

∴f′(x)=3x²-2x+a，

∵f(x)=x³-x²+ax+b的一个极值点为x=1，

∴ f′(1)=3×1²-2×1+a=0，∴a=-1，

∴f′(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1)，

当时，；当时，；当x＞1时，；

∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∵方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β，即x²-x-b=0的两根为α，β（α＜β），

∴，

∴，

∵函数f(x)在区间[α，β] 上是单调的，

∴区间[α，β]只能是区间之一的子区间，

由于，故，

若α＜0，则α+β＜1，与α+β=1矛盾；

∴，

∴方程x²-x-b=0的两根为α，β都在区间[0，1]上，

令的对称轴为，

则，解得：，

∴实数b的取值范围是。

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间[α，[α，β]]上单调递减，

∴函数f(x)在区间[α，β]上的最大值为f（α），最小值为f(β)，

∵x₁，x₂∈[α，β]，

∴

令，则，

，

设，则，

∵，

∴，

∴，

∴函数在(0，1]上单调递增，

∴h(t)≤h(1)=1，

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤1。