问题 解答题

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。

答案

解:(1)

因为f(x)在处取得极值,

所以=0的两个根

,解得

(2)由题意知

随着x变化情况如下表所示:

由上表知极大值=

又x取足够大的正数时,

x取足够小的负数时,

因此,为使曲线与x轴有两个交点,结合g(x)的单调性,

必有:

即存在t,且时,使得曲线与x轴有两个交点。

判断题
单项选择题