已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
解:(1)
因为f(x)在和
处取得极值,
所以和
是
=0的两个根
则,解得
故。
(2)由题意知
令得
或
随着x变化情况如下表所示:
由上表知极大值=
又x取足够大的正数时,
x取足够小的负数时,
因此,为使曲线与x轴有两个交点,结合g(x)的单调性,
必有:或
∴或
即存在t,且或
时,使得曲线
与x轴有两个交点。