问题
解答题
已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．
答案
解：（1）f′（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a）．
令f′（x）=0，得x1=0，x2=2a
列表如下：
由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2a，+∞）；
单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=﹣3a2+a，f（2a）=﹣4a3﹣3a2+a．
由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（﹣3a2+a）（﹣4a3﹣3a2+a）≤0
∴a2（3a﹣1）（4a﹣1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a﹣1）（4a﹣1）≤0，
解得
≤a≤
故实数a的取值范围是[
，
]．