问题
解答题
已知函数f（x）=x3+（4﹣a）x2﹣15x+a，a∈R．
（I）若点P（0，﹣2）在函数f（x）的图象上，求a的值和函数f（x）的极小值；
（II）若函数f（x）在（﹣1，1）上是单调递减函数，求a的最大值．
答案
解：（I）∵点P（0，﹣2）在函数f（x）的图象上
∴a=﹣2
∴f（x）=x3+6x2﹣15x﹣2
∴f '（x）=3x2+12x﹣15=3（x﹣1）（x+5）
令f '（x）=0，解得x=﹣5或x=1
令f '（x）＜0，解得﹣5＜x＜1，
∴函数的单调减区间为（﹣5，1）
令f '（x）＞0，解得x＜﹣5或x＞1，
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣5），（1，+∞）
∴x=1时，函数f（x）取到极小值为f（x）=1+6﹣15﹣2=﹣10
（II）f '（x）=3x2+2（4﹣a）x﹣15要使函数f（x）在（﹣1，1）上是单调递减函数，
则f '（x）≤0在（﹣1，1）上恒成立
∴
∴
∴
∴﹣2≤a≤10
∴a的最大值为10．