问题
计算题
在高能物理研究中，粒子回旋加速器起着重要作用，如图甲为它的示意图。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条窄缝。两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。图乙为俯视图，在D型盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D型盒中。在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速。如此周而复始，最后到达D型盒的边缘，获得最大速度，由导出装置导出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R。每次加速的时间很短，可以忽略不计。正离子从离子源出发时的初速度为零，求
（1）为了使正离子每经过窄缝都被加速，求交变电压的频率；
（2）求离子能获得的最大动能；
（3）求离子第1次与第n次在下半盒中运动的轨道半径之比。
答案
解：（1）使正离子每经过窄缝都被加速，交变电压的频率应等于离子做圆周运动的频率正离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力
又
解得
所以
（2）当离子从D盒边缘离开时速度最大，此时离子做圆周运动的半径为D盒的半径有
离子获得的最大动能为
（3）离子从S点经电场加速1次后，以速度v1第1次进入下半盒
由动能定理
解得
，
离子从S点经电场加速3次后，以速度v3第2次进入下半盒
解得
，
离子经电场加速（2n－1）次后，第n次进入磁场
同理可得
所以 
（n = 1，2，3 ……）