已知关于的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两

问题解答题

已知关于的方程x²+ax+b=0（b≠0）与x²+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x²-x-6=0与x²-2x-3=0互为“同根轮换方程”．
（1）若关于x的方程x²+4x+m=0与x²-6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；
（2）若p是关于x的方程x²+ax+b=0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程x2+2ax+

b=0的实数根，当p、q分别取何值时，方程x²+ax+b=0（b≠0）与x2+2ax+

b=0互为“同根轮换方程”，请说明理由．

答案

（1）∵方程x²+4x+m=0与x²-6x+n=0互为“同根轮换方程”，

∴4m=-6n．

设t是公共根，则有t²+4t+m=0，t²-6t+n=0．

解得，t=

n-m

．

∵4m=-6n．∴t=-

．

∴（-

）²+4（-

）+m=0．

∴m=-12．

（2）∵x²-x-6=0与x²-2x-3=0互为“同根轮换方程”，

它们的公共根是3．

而3=（-3）×（-1）=-3×（-1）．

又∵x²+x-6=0与x²+2x-3=0互为“同根轮换方程”．

它们的公共根是-3．

而-3=-3×1．

∴当p=q=-3a时，

有9a²-3a²+b=0．

解得，b=-6a²．

∴x²+ax-6a²=0，x²+2ax-3a²=0．

解得，p=-3a，x₁=2a；q=-3a，x₂=a．

∵b≠0，∴-6a²≠0，∴a≠0．

∴2a≠a．即x₁≠x₂．

又∵2a×

b=ab，…（6分）

∴方程x²+ax+b=0（b≠0）与x²+2ax+

b=0互为“同根轮换方程”．