问题
解答题
已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，当x>2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）3。
（Ⅰ）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（Ⅱ）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x0≥1，f（x0）≥1时，有f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0。
答案
解:（Ⅰ） 当x<0时，必有-x>0，则2-x>2，
而若点
在f（x）的图象上，
则
关于x=1的对称点
必在g（x）的图象上，
即当x<0时，
由于f（x）是奇函数，则任取x>0，有-x<0，且
又当x=0时，由
，必有f（0）=0，
综上，当x∈R时，
，
若x=1时f（x）取到极值，则必有当x=1时
，即a=3
又由
知，当
时，
，f（x）为减函数，
∴当
时，
，
∴当
时，
；
（Ⅱ）若f（x）在
为减函数，则
对任意
皆成立，
这样的实数a不存在，
若f（x）为增函数，则可令
，
由于f′（x）在
上为增函数，可令
，
即当
时，f（x）在
上为增函数，
由
，
设
，则
，
∴
与所设矛盾，
若
则
，
∴
与所设矛盾故必有
。