解：（1）记g（x）＝e^x-bx，

当b＝1时，g′（x）＝e^x-1，

当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上为增函数；

又g（0）＝1＞0，

所以当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0，

所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝∣g（x）∣＝g（x），

所以f′（1）＝g′（1）＝e-1，

所以曲线y＝f（x）在点（1，e-1）处的切线方程为：y-（e-1）＝（e-1）（x-1），

即y＝（e-1）x。  

（2）f（x）＝0同解于g（x）＝0，

因此，只需g（x）＝0有且只有一个解，即方程e^x-bx＝0有且只有一个解，

因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝，  

令h（x）＝，

由h′（x）＝＝0得x＝1，

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，＋∞）；

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，＋∞）；

所以当x∈（0，＋∞）时，方程b＝有且只有一解等价于b＝e；

当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），

从而方程b＝有且只有一解等价于b∈（-∞，0）；

综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}。

（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb，

当x∈（-∞，lnb）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x∈（lnb，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

所以在x=lnb时，g（x）取极小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），

①当0＜b≤e时，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，

从而当x∈R时，g（x）≥0，

所以f（x）=∣g（x）∣=g（x）在（-∞，+∞）上无极大值；

因此，在x∈（0，2）上也无极大值；

②当b＞e时，g（lnb）＜0，

因为g（0）=1＞0，g（2lnb）=b²-2blnb=b（b-2lnb）＞0，

所以存在x₁∈（0，lnb），x₂∈（lnb，2lnb），使得g（x₁）=g（x₂）=0，

此时f（x）=∣g（x）∣=，

所以f（x）在（-∞，x₁）单调递减，在（x₁，lnb）上单调递增，在（lnb，x₂）单调递减，

在（x₂，+∞）上单调递增，

所以在x=lnb时，f（x）有极大值，

因为x∈（0，2），

所以，当lnb＜2，即e＜b＜e²时，f（x）在（0，2）上有极大值；

当lnb≥2，即b≥e²时，f（x）在（0，2）上不存在极大值；

综上所述，在区间（0，2）上，当0＜b≤e或b≥e²时，函数y=f（x）不存在极大值；

当e＜b＜e²时，函数y=f（x）在x=lnb时取极大值f（lnb）=b（lnb-1）。