问题
解答题
设函数f（x）=tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．
答案
解：（I）∵f（x）=t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），
∴当x=﹣t时，f（x）取最小值f（﹣t）=﹣t2+t﹣1，即h（t）=﹣t3+t﹣1；
（II）令g（t）=h（t）﹣（﹣2t+m）=﹣t3+3t﹣1﹣m，
由g′（t）=﹣3t2+3=0得
t=1，t=﹣1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：
∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1﹣m
h（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1﹣m＜0
所以m的取值范围为m＞1．