问题
解答题
对于集合M，定义函数fM（x）=
（Ⅰ）写出fA（2）与fB（2）的值，并用列举法写出集合A⊗B； （Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X⊗A）+Card（x⊗b）的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P⊗A）⊗（Q⊗B）=A⊗B． |
答案
（Ⅰ）fA（2）=-1，fB（2）=1，
∴A⊗B={2，4，5，6，9，27，81}．…（3分）
（Ⅱ）X⊗A={x|x∈X∪A，x∉X∩A}，X⊗B={x|x∈X∪B，x∉X∩B}
要使Card（X⊗A）+Card（X⊗B）的值最小，
1，3一定属于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，
所以当集合X为{2，4，5，6，9，27，81}的子集与集合{1，3}的并集时，
Card（X⊗A）+Card（X⊗B）的值最小，最小值是7 …（8分）
（Ⅲ）因为fA⊗B（x）=fA（x）•fB（x），
f（A⊗B）⊗C（x）=fA（x）•fB（x）•fC（x）
所以⊗运算具有交换律和结合律，
所以（P⊗A）⊗（Q⊗B）=（P⊗Q）⊗（A⊗B）
而（P⊗A）⊗（Q⊗B）=（A⊗B）
所以P⊗Q=∅，所以P=Q，而A∪B={1，2，3，4，5，6，9，27，81}
所以满足条件的集合对（P，Q）有29=512个 …（13分）