问题
解答题
已知f(x)=ax-
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l． （2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由． （3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性． |
答案
（1）g（1）=0，所以P的坐标为（1，0），
g′(x)=
，则切线的斜率k=g′（1）=1，1 x
所以直线l的方程为y-0=1（x-1），化简得y=x-1；
（2）由f(x)=ax-
，得f′（x）=a+1 x
，1 x2
设y=f（x）在x=x0处的切线为l，
则有
，解得ax0-
=x0-11 x0 a+
=11 x02
，x0=2 a= 3 4
即当a=
时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线；3 4
（3）F′(x)=a+
-1 x2
=a+(1 x
-1 x
)2-1 2
．1 4
当a≥
，a-1 4
≥0时，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）单调递增；1 4
当a=0时，F′(x)=
-1 x2
=1 x
，F（x）在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减；1-x x2
当0＜a＜
时，解F′（x）=0得x1=1 4
，x2=1- 1-4a 2a
，1+ 1-4a 2a
F（x）在（0，x1]和（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2]单调递减；
当a＜0时，解F′（x）=0得x1=
＞0，x2=1- 1-4a 2a
＜0（x2舍去），1+ 1-4a 2a
F（x）在（0，x1]单调递增，在（x1，+∞）单调递减．