问题
计算题
如图所示，圆心在原点、半径为
的圆将
平面分为两个区域，在圆内区域Ⅰ（
）和圆外区域Ⅱ（
）分别存在两个匀强磁场，方向均垂直于
平面。垂直于
平面放置两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于
轴放置在
=
的位置，荧光屏乙平行于
轴放置在
=
的位置。现有一束质量为
、电荷量为
（
）、动能为
的粒子从坐标为（
，0）的
点沿
轴正方向射入区域Ⅰ，最终打在荧光屏甲上，出现亮点的坐标为（
，
）。若撤去圆外磁场，粒子也打在荧光屏甲上，出现亮点
的坐标为（0，
），此时，若将荧光屏甲沿
轴负方向平移，发现亮点的
轴坐标始终保持不变。不计粒子重力影响。
（1）求在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度
、
的大小；
（2）求在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度
、
的大小和方向；
（3）若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从
点沿
轴正方向射入区域Ⅰ的粒子束改为质量为
、电荷量为
、动能为
的粒子，求荧光屏上出现亮点的坐标。
答案
解：（1）由于在磁场中运动时洛仑兹力不做功，所以在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度大小就是在
点入射时初始速度大小，由
可得
（2）粒子在区域Ⅰ中运动了四分之一圆周后，从C点沿
轴负方向进入区域Ⅱ的磁场。如图所示，圆周运动的圆心是
点，半径为
由
，得
，方向垂直
平面向外
粒子进入区域Ⅱ后做半径为
的圆周运动，由
，可得
圆周运动的圆心
坐标为（
，
）
圆周运动轨迹方程为
将
点的坐标（
，
）代入上式，可得
求得：
，方向垂直
平面向里
（3）如图所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动
由
可知，运动速度为
轨道半径为
由圆心
的坐标（
，
）可知，
与
的夹角为
。通过分析如图的几何关系，粒子从D点穿出区域Ⅰ的速度方向与
轴正方向的夹角为
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为
其圆心
的坐标为（
，
），即（
，
），说明圆心
恰好在荧光屏乙上，所以，亮点将出现在荧光屏乙上的P点
其
轴坐标为
其
轴坐标为
=