问题
计算题
如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.5T。在原点O放一个开有小孔粒子源，粒子源能同时放出比荷为q/m =4.0×106kg/C的不同速率的正离子束，沿与x轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮。入射正离子束的速率在0到最大值vm=2.0×106m/s的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力。
（1）求离子打到荧光屏上的范围。
（2）若在某时刻（设为t=0时刻）沿与x轴成30°角方向射入各种速率的正离子，求经过
s时这些离子所在位置构成的曲线方程。
（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30°～60°角内进入磁场。则某时刻（设为t=0时刻）在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，求经过
s时这些离子可能出现的区域面积。
答案
解：（1）
，
离子在磁场中运动最大轨道半径：rm=1m
由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如图，所以OA1长度为：
m
即离子打到荧光屏上的范围为：
（2）离子在磁场中运动的周期为：
经过时间：t=
s
离子转过的圆心角为
设
s这个时刻某离子的位置坐标为（x，y）
所以：
就是所求的曲线方程
（3）由几何关系知，与x轴成60°方向入射的离子，经过时间：t=
s离子转过的圆心角为
，刚好打在y轴上，将t=
s时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：x=0即都打在y轴上
所以在t=0时刻与x轴成30°～60°内进入磁场的正离子在t=
s时刻全部出现在以O为圆心的扇形OA2C1范围内。如图
则离子可能出现的区域面积：
