问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若对任意的x1，x2∈[-1，1]，均有|f（x1）-f（x2）|≤s成立，求s的最小值．
答案
（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，∴f′（x）=3ax2+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即
，解得，a=3a+c=0 -a-c=1
，c=-1 2 3 2
∴f（x）=
x3+-1 2
x3 2
（2）f(x)=
x3-1 2
x，f′(x)=3 2
x2-3 2
=3 2
(x-1)(x+1)，3 2
x∈（-1，1）时f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上是减函数，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），
则|f（x）|≤1，⇒fmax（x）=1，fmin（x）=-1，
当x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max|+|f（x）min|≤1+1=2
∴|f（x1）-f（x2）|≤s中s的最小值为2，
∴s的最小值2．