问题
问答题
宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动；另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．已知每个星体的质量均为m，引力常量为G．试求：
（1）第一种形式下，星体运动的线速度．
（2）第一种形式下，星体运动的周期；
（3）假设两种形式星体的运行周期相同，求第二种形式下星体运动的轨道半径．
答案
（1）第一种形式，设轨道半径为r，则据几何关系有：r=
a2 2
以任一星体为研究对象，作受力图有：
∵如图以D为研究对象，D受三个力的合力提供D围绕圆周运动的向心力则有：
G
+2Gm2 (
a)22
cos450=mm2 a2 v2 r
∴v=(4+
)Gm2 4a
（2）根据周期定义有：
T=2πr v
∴可得：T=2πa2a (4+
)Gm2
（3）第二种形式，设轨道半径为R，则位于等边三角形顶点的两星间距离为：L=2Rcos30°以做圆周运动的任一星体为研究对象：
∵G
+2Gm2 R2
cos300=m(m2 L2
)2R2π T
∴R=a3 6+2 3 12+3 2
答：（1）第一种形式下，星体运动的线速度v=
．(4+
)Gm2 4a
（2）第一种形式下，星体运动的周期T=2πa
；2a (4+
)Gm2
（3）假设两种形式星体的运行周期相同，求第二种形式下星体运动的轨道半径R=a
．3 6+2 3 12+3 2