参考答案：D

解析：[分析一] 因f(x)在(-∞0)∪(0，+∞)内可导，从而f(x)分别在(-∞，0)与(0，+∞)上连续，又因x=0是f(x)的可去间断点，从而补充定义[*]，补充定义后的函数f(x)就在区间(-∞，+∞)上连续．于是[*]在(-∞，+∞)内可导，特别在x=0处连续．由于改变函数在个别点的函数值不影响函数的可积性与定积分的值(这是定积分的性质之一)，所以[*]也在x=0处连续．即应选(D)．
[分析二] 用排除法．
对于(A)：取[*]则[*]从而可知x=0为f'(x)的跳跃间断点．故(A)不对．
对于(B)：取[*]则对任何x≠0都有f'(x)=0，从而可知x=0为f'(x)的可去间断点．故(B)不对．
对于(C)：同样取[*]则不仅有[*]，而且对任何x≠0都有[*]，可见x=0不是[*]的可去间断点．故(C)也不对．
由排除法可知，应选(D)．