问题
计算题
如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求
（1）粒子a射入区域I时速度的大小；
（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。
答案
解：（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P'，如图
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
①
由几何关系得
②，
③，式中
由①②③式得
④
（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra1，射出点为Pa（图中未画出轨迹），
。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
⑤
由①⑤式得
⑥
C、P'和Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于
⑦的平面上。由对称性知，Pa点与P'点纵坐标相同，即
⑧ 式中，h是C点的y坐标
设b在I中运动的轨道半径为Rb1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
⑨
设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α。如果b没有飞出I，则
⑩，
，式中，t是a在区域II中运动的时间，而
，
由⑤⑨⑩式得
由①③⑨式可见，b没有飞出。Pb点的y坐标为
由①③⑧⑨式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为