问题
问答题
如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．
（1）求A行星做匀速圆周运动的向心加速度大小；
（2）求中央恒星O的质量；
（3）若中央恒星是半径为R的均匀球体，要使在此恒星表面被平抛出的物体不再落回恒星表面，通过计算说明抛出物体的速度需要满足什么条件．
答案
（1）根据圆周运动的向心加速度的表达式得出：
A行星绕恒星做匀速圆周运动的加速度大小为：a=ω2r=4π2r T2
（2）A行星绕恒星O做匀速圆周运动，设A行星和恒星的质量分别为m和M，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G
=mMm r2
r4π2 T2
解得：M=
．4π2r3 GT2
（3）当水平抛出物体的速度大小等于或大于物体在靠近恒星表面，绕恒星做匀速圆周运动速度大小时，物体将不再落回恒星表面．设物体在靠近恒星表面，绕恒星做半径为R的匀速圆周运动的速度大小为υ，也就是我们所说的第一宇宙速度，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G
=mMm R2
，v=υ2 R GM R
代入M解得：v=
=4π2r3 RT2 2πr T r R
即在恒星表面水平抛出物体，物体不再落回恒星表面，抛出物体的速度v'需满足的条件是：v′≥2πr T r R
答：（1）A行星做匀速圆周运动的向心加速度大小为
；4π2r T2
（2）中央恒星O的质量是
；4π2r3 GT2
（3）抛出物体的速度需要满足条件是：v′≥2πr T
．r R