问题
解答题
已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．
答案
（I）因为直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，设切点（x0，y0）
则f′（x0）=2ax0+b=-1，∴x0=-b-1 2a
又∵
0得a=-x0+y0=4 y0=ax02+bx
，∵0＜x0，0＜y0，得0＜(b+1)2 16
＜4，解得b＞1-b-1 2a
（II）S=
(ax2+bx)dx=∫ -
0b a
b3=1 6a2
，S′=128b3 6(b+1)4
；128b2(3-b) 3(b+1)5
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=
．9 2
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