问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=
（1）求f（x）的解析式； （2）写出f（x）的单调区间； （3）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值． |
答案
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意，得
，解f′(
)=3×(2 3
)2+2a×2 3
+b=02 3 f′(1)=3×12+2a×1+b=3
；a=2 b=-4
所以，f（x）=x3+2x2-4x+5
（2）f′（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x1=-2，x2=
；2 3
当x＜-2，或x＞
时，f′（x）＞0，单增区间是（-∞，-2），或（2 3
，+∞）2 3
当-2＜x＜
时，f′（x）＜0，单减区间是（-2，2 3
）2 3
（3）当变化时，f（x），f′（x）变化情况如下表
| x | -3 | （-3，-2） | -2 | （-2，
|
| （
| 1 | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ | ||||||||
| 函数值 | -2 | 13 |
| 4 |