问题
解答题
已f（x）=
（I）求f（x）的解析式与单调区间； （Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=3f（x1）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． |
答案
（I）f′(x)=x2+2ax+
，f′(8 9
)=2 3
+4 9
a+4 3
=0得a=-1，8 9
且f(
)=2 3
，b=0，则 f(x)=20 81
x3-x2+1 3
x8 9
f′(x)=x2-2x+
令f′(x)＞0得x＞8 9
或x＜4 3
；2 3
f′(x)＜0得
＜x＜2 3
；4 3
∴f(x)的递增区间为(-∞，
)，(2 3
，+∞)； 4 3
递减区间为(
，2 3
)4 3
（ II）由（1）得
| x | -1 | （-1，
|
| （
|
| （
| 2 | ||||||||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||||||||
| f（x） | -
| 增 |
| 减 |
| 增 |
|
| 20 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 20 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
假设对任意的x1∈[-1，2]时都存在x0∈[0，1]时使得g（x0）=3f（x1）成立，
设g（x0）的最大值为T，最小值为t，则要求T≥
，t≤-4 3 20 3
又g'（x）=x2+m2，所以当x0∈[0，1]时时T=g(1)=
+m2-1 3
m+1≥2 3
，m≥4 3
，或m≤02 3
且t=g(0)=-
m+1≤-2 3
，m≥20 3
．23 2
综上，m≥
；23 2