问题
解答题
已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax2，
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；
（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
答案
（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x2，∴f′(x)=
（x＞-2x(2x-1) 1+2x
）．1 2
当x∈(-
，0)∪(1 2
，+∞)，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为(-1 2
，0)和(1 2
，+∞)；1 2
当x∈(0，
)，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为(0，1 2
)；1 2
（2）f′(x)=2•
（x＞-2ax2-(2-a)x 1+2x
）．1 2
由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2
∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有-
＜1 2
-1 a
＜1，解得a＞1 2 2 3
综上，a＞
且a≠2；2 3
（3）令t=2x，则原不等式等价于ln(1+t)-t≤-
at21 4
t=0，满足题设；
t≠0，有
≤-ln(1+t)-t t2 a 4
∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴
＜0ln(1+t)-t t2
∴0≤-a 4
∴a≤0．