问题 解答题

已知函数f(x)=ax3+bx2-9x在x=3处取得极大值0.

(Ⅰ)求f(x)在区间[0,1]上的最大值;

(Ⅱ)若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有三条,求实数m的取值范围.

答案

(Ⅰ)∵f′(x)=3ax2+2bx-9,

且在x=3处取得极大值0.

f(3)=27a+6b-9=0
f(3)=27a+9b-27=0
a=-1
b=6

∴f′(x)=-3x2+12x-9=-3(x-1)(x-3)

当x∈[0,1]时,f′(x)≤0,

∴f(x)在[0,1]上单调递减.

∴fmax(x)=f(0)=0.…(6分)

(Ⅱ)设过P点的切线切曲线于点(x0,y0),则切线的斜率k=-3x02+12x0-9

所以切线方程为y=(-3x02+12x0-9)(x+1)+mw

故y0=(-3x02+12x0-9)(x0+1)+m=-x03+6x02-9x0…(9分)

要使过P可作曲线y=f(x)的切线有三条,

则方程(-3x02+12x0-9)(x0+1)+m=-x03+6x02-9x0有三解∴m=2x°3-3x°2-12x°+9,令g(x)=2x3-3x2-12x+9

则g′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)…(12分)

易知x=-1,2为g(x)的极值大、极小值点,又g(x)极小=-11,g(x)极大=16,

故满足条件的m的取值范围-11<m<16.…(15分)

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