（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）

∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）

得-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d

∴b=d=0，

则有f（x）=ax³+cx

由f′（x）=3ax²+c，依题意得f′（

1

2

）=0

∴

3

4

a+c=0①

f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1②（5分）

由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x³-3x．（6分）

（Ⅱ）由f′（x）=12x²-3＞0

解得：x＞

1

2

或x＜-

1

2

（8分）

∵（1，+∞）⊂（

1

2

，+∞）

∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）

设（x₁，y₁），（x₂，y₂）是x∈（1，+∞）时，

函数f（x）图象上任意两点，

且x₂＞x₁，则有y₂＞y₁

∴过这两点的直线的斜率k=

y2-y1

x2-x1

＞0．（12分）