（1）由已知f（x）为奇函数，故b=0，

所以f（x）=

1

3

ax³+（a²-6）x，f′（x）=ax²+a²-6，

由极值的条件可得f′（1）=a+a²-6=0，

解得a=-3或a=2，

当a=2时，x=1为f（x）的极小值点，与已知矛盾，舍去．

故f（x）=-x³+3x；

（2）由（1）知n=-m³+3m，设切点为（x₀，-x03+3x0），

则切线方程为y-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（x-x₀）．

P点在切线上，有-m³+3m-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（m-x₀），

即-(m3-x03)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，

分解因式可得-(m-x0)(m2+mx0+x02)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，

即（x₀-m）（2x02-mx0-m2）=0，即(x0-m)2(x0-

-m

2

)=0，

当m=0时，x₀=0，此时原曲线仅有一条切线；

当m≠0时，x₀=m，或x₀=-

m

2

，此时原曲线有两条切线．

故过点P作该曲线的切线至多存在两条．