问题
解答题
已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
答案
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
当a＞1时，
| x | 0 | （0，1） | 1 | （1，a） | a | （a，2a） | 2a |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | 0 | 单调递增 | 极大值3a-1 | 单调递减 | 极小值 a2（3-a） | 单调递增 | 4a3 |
|
当a＜-1时，
| X | 0 | （0，1） | 1 | （1，-2a） | -2a |
| f′x） | - | 0 | + | ||
| f（x） | 0 | 单调递减 | 极小值3a-1 | 单调递增 | -28a3-24a2 |
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=
．3a-1，a＜-1 0，1＜a≤3 a2(3-a)，a＞3